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フィナンシャルエンジニアリングレポート Vol.20

マイナス金利がデリバティブ商品に及ぼす影響について

2016年3月
みずほ情報総研 金融技術開発部 鈴木 恭平

1. はじめに

2016年1月の日銀金融政策決定会合において、マイナス金利政策の導入が決定された。日銀当座預金の一部に-0.1%の金利を適用するというものである。日銀はこの政策を通じて金利低下を促し、2%の「物価安定の目標」の早期実現を図るとしている。本稿では、金利デリバティブに焦点を当て、マイナス金利が当該商品に与える影響について整理する。

2. 金利スワップ

金利スワップとは、契約時点で決められた固定金利と変動金利を交換する取引であり、金利リスクのヘッジに使われる。例えばT年間、想定元本1円で固定金利と変動金利を交換する取引のキャッシュフローは図1の通りとなる。

図1 金利スワップのキャッシュフロー
図1

この取引の現在価値(PV)の評価式は以下の通りとなる。

数式1

現在価値を算出する場合、将来時点で決まる変動金利Li およびディスカウントファクターDFi を現時点のイールドカーブから算出する。S の値がマイナスとなるような金利環境下になると、Li の値も負となることが多いため、固定金利を受ける契約をした人が固定金利を払い、変動金利を受け取るという逆転現象が発生する。ただし、時価評価という点から見ると、正負の符号が変わるだけなので、評価可能ということになる。

次項で取り上げる金利オプションは、これまで主流であった評価手法ではマイナス金利環境下での時価評価ができない。

3. 金利オプション

ここでは、代表的な金利オプションである金利スワップションについて取り上げる。金利スワップションとは、約定時点で決めたレートで、将来のある時点から金利スワップを行う権利を売買する商品のことである。この商品の現在価値を算出するために一般的にはブラック・モデルが使われており、このモデルは対数正規分布(Lognormal)を仮定している。T 年後からT’ 年間のスワップを開始する権利の価格をブラック・モデルで表すと次の通りとなる。

数式2

マイナス金利環境下で問題となるのは、上式のうちの式1の部分である。ST,T’ がマイナスとなった場合、真数が負となり、計算不可となる。

従来、その分布形状からマイナス金利を許容しないことがこのブラック・モデルの利点として言われてきた。それは金利というものは負値を取らないと広く考えられていたからである。しかしながらヨーロッパを皮切りに日本でも政策としてマイナス金利が導入され、イールドカーブは全体的に低下、短期ゾーンからマイナス金利に突入した。これによりスワップション価格の算出に必要なフォワードスワップレートがマイナスとなる事象が発生し、デリバティブ商品の登場以来長らく使われてきたブラック・モデルは上述の理由から使用不可能な状態に陥っている。市場参加者が使う情報端末ではプレミアムから算出したブラック・モデルのボラティリティが提示されていたが、昨今の環境で提示できない年限も現れている。

この問題を解決するために、代替モデルに関する議論が活発に行われている。マイナス金利を許容するモデルとしては、Ho-LeeモデルやHull-Whiteモデルなど複数存在するが、既存モデルからの拡張が容易かつモデルが比較的単純という理由から本稿ではShifted Lognormalモデルを紹介する。このモデルはブラック・モデルに金利の下限をパラメータとして追加し、対数正規分布をマイナス方向へ移動させたものである。

Shifted Lognormalモデルを用いてスワップションの価格を表すと次の通りとなる。

数式3

上式の通り、logの真数が式2となることから、このモデルで計算できる金利の下限は-h となる。またh=0 とした場合はブラック・モデルとなることから、ブラック・モデルはShifted Lognormalモデルの一部という見方もできる。

4. Shifted Lognormalモデルのリスク値

前項で取り上げたShifted Lognormalモデルをブラック・モデルの代替として使う場合、シフト幅h にどのような値を入れるかは現状裁量の余地がある。シフト幅h の決め方について、[1]固定値として運用する方法と[2]マーケット情報から算出する方法が考えられる。[1]については、いったんh を決めてしまえばその値は変動しないので、h の変動をリスクとして認識する必要がない一方、h よりも金利が低下した場合、再び計算不可能になるといった問題がある。一方で[2]の場合、マーケット情報からh を算出するので、金利環境によって計算不可能に陥る問題はないものの、このh の変動リスクを管理する必要があるため、リスク要因が増えるといった問題がある。またどのような計算手法でh を算出するのかにも議論が出るだろう。

以下にペイヤーズスワップションの例を挙げる。この例では、シフト幅hを予め設定し、その値によってリスク値がどう変化するかを比較した。ブラック・モデルとの比較を行うために、フォワードスワップレートはプラスの値を設定した。

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■取引条件
期間 5年
アニュイティ式3 5.0
フォワードスワップレート 0.5%
権利行使価格 0.5%
プレミアム(想定元本に対して) 1.0%

上記取引条件を用いて、ブラック・モデルおよびシフト幅を0.5%、1.0%、1.5%とした場合のShifted Lognormalモデルのボラティリティを算出し、それを基に計量したリスク値は表1の通りとなった。また、各々の確率密度関数を図2に示した。

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表1 リスク値の比較
  ブラック・モデル(h=0 ) Shifted Lognormalモデル
シフト幅(h) 0 0.5% 1.0% 1.5%
ボラティリティ 47% 23% 15% 11%
デルタ 3.5 3.0 2.8 2.8
ガンマ 332 381 390 394
ベガ 0.02 0.04 0.07 0.09

図2 確率密度関数
図2

表1より、シフト幅を固定する場合、その値によって従来管理していたリスク値(デルタ、ガンマ、ベガ)が変わるため、影響を事前に把握する必要がある。特にベガの値がシフト幅によって大きく変化することが見て取れる。

5. 終わりに

マイナス金利はデリバティブの中でもオプション性のある商品に影響があり、現在ブラック・モデルに代表される対数正規分布をベースにしたモデルは使用不可能な状況に陥っている。本レポートでは、マイナス金利に対応できるモデルの一つとして、Shifted Lognormalモデルを取り上げた。これは既存のブラック・モデルの枠組みに少しの修正を加えるだけでマイナス金利に対応出来るので、今後の主流になるのではないかと考えている。ただし、そのシフト幅によってリスク値が大きく異なるので、モデル変更がそれらに与える影響を事前に十分に把握する必要があるだろう。今後の動向に注視していきたい。


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